Beberapasifat dari turunan pertama dan kedua suatu fungsi pada x1 dapat kita nyatakan sebagai berikut: f' (x1) = 0, maka titik (x1, f (x1)) disebut titik stasioner (kritis). f' (x1) = 0 dan f'' (x1)>0, maka titik (x1, f (x1)) disebut titik minimum. f' (x1) = 0 dan f'' (x1)
Kondisi suatu grafik fungsi $y = fx$ mempunyai tiga keadaan, yaitu keadaan naik kurva fungsi naik, keadaan turun kurva fungsi turun, dan keadaan diam kurva fungsi stasioner. Kali ini, kita akan membahas mengenai kondisi suatu fungsi ketika dalam keadaan diam stasioner beserta perluasannya. Nilai Stasioner dan Titik Stasioner Misalkan $c$ adalah anggota dari domain asal fungsi $f$. Jika $f'c = 0$, maka $fc$ adalah nilai stasioner $f$ pada $x = c$. Pasangan nilai $c$ dan $fc$ dalam koordinat berbentuk $c, fc$ dinamakan titik stasioner. Titik stasioner juga disebut titik kritis, titik balik, titik ekstrem, atau titik optimum. Jenis-jenis Ekstrem Suatu Fungsi Penentuan jenis-jenis ekstrem suatu fungsi dapat dilakukan dalam dua cara, yaitu uji turunan pertama dan uji turunan kedua. a. Uji turunan pertama Jika $f'c = 0$, maka $fc$ adalah nilai stasioner $f$ pada $x=c$. Nilai stasioner mungkin saja merupakan nilai balik maksimum, nilai balik minimum, atau titik belok horizontal pada grafik fungsi $f$. Jenis nilai-nilai stasioner ini dapat ditentukan dengan memperhatikan tanda kepositivan $f'x$ di sekitar $x=c$. $fx$ mempunyai nilai balik maksimum $fc$ jika $f'x$ berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol. $fx$ mempunyai nilai balik minimum $fc$ jika $f'x$ berganti tanda dari negatif menjadi positif saat melalui nol. $fx$ mempunyai titik belok horizontal pada $c$ jika $f'x$ tidak berganti tanda saat melalui nol. Tafsiran geometri dari uji turunan pertama untuk menentukan jenis ekstrem fungsi dapat dilihat di bawah. 1 $fx$ mempunyai nilai balik maksimum $fc$ dan titik ekstrem $c, fc.$ 2 $fx$ mempunyai nilai balik minimum $fc$ dan titik ekstrem $c, fc.$ 3 $fx$ mempunyai titik belok horizontal pada $c$ dengan titik belok $c, fc.$ Dalam hal ini, $fc$ bukan nilai ekstrem fungsi. b. Uji turunan kedua Uji turunan kedua sangat diperlukan untuk menentukan titik belok kurva suatu fungsi. Uji turunan kedua pada penentuan jenis ekstrem fungsi juga didasari pada pengamatan tanda kepositivan $f'c$ di sekitar $x=c$ yang diperoleh dari $f'x = 0$. Uji turunan kedua diperlukan untuk fungsi polinomial berderajat tiga atau lebih. Misalkan fungsi $f$ kontinu dan diferensiabel dapat diturunkan dalam interval $I$ yang memuat $x=c.$ Turunan pertamanya adalah $f'x$, sedangkan turunan keduanya adalah $f^{\prime \prime}x$ pada interval $I$, serta $f'c = 0$ dengan $fc$ adalah nilai stasioner. Jika $f^{\prime \prime}c 0,$ maka $fc$ adalah nilai balik minimum fungsi $f$. Jika $f^{\prime \prime}c = 0,$ maka $fc$ bukan nilai ekstrem fungsi dan titik $c, fc$ adalah titik belok kurva fungsi $f$. Untuk memantapkan pemahaman, berikut ini telah disajikan sejumlah soal dan pembahasan terkait masalah nilai maksimum dan minimum menggunakan turunan diferensial. Semoga bermanfaat. Today Quote If everything was perfect, you would never learn and you would never grow. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Fungsi $y = x^3-3x^2+3x-2$ mempunyai nilai stasioner $\cdots \cdot$ A. $x=0$ D. $y=0$ B. $x=1$ E. $y=-1$ C. $y=1$ Pembahasan Diketahui $fx = y = x^3-3x^2+3x-2.$ Nilai-nilai stasioner $fx$ didapat ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ 3x^2-6x+3 & = 0 \\ 3x^2-2x+1 & = 0 \\ 3x-1^2 & = 0 \\ x & = 1 \end{aligned}$$Untuk $x = 1$, diperoleh nilai stasioner $$\begin{aligned} f1 & = 1^3-31^2+31-2 \\ & = 1-3+3-2 \\ & = -1. \end{aligned}$$Jadi, nilai stasioner fungsi tersebut adalah $\boxed{ y = -1}$ Jawaban E [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun Soal Nomor 2 Fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10$ akan stasioner pada saat nilai $x$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $-1$ D. $0$ atau $1$ B. $0$ E. $-1$ atau $1$ C. $1$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10.$ Nilai-nilai stasioner $fx$ didapat ketika $f'x = 0$. $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ x^2-x & = 0 \\ xx-1 & = 0 \\ x = 0~\text{atau}&~x = 1 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10$ akan stasioner pada saat nilai $x$ sama dengan $\boxed{0~\text{atau}~1}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 3 Titik stasioner dari fungsi $gx = x^3-3x+3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $1,1$ dan $-1,-5$ B. $1,1$ dan $-1,5$ C. $1,1$ dan $1,-5$ D. $-1,1$ dan $1, 5$ E. $-1, -1$ dan $1, 5$ Pembahasan Diketahui $gx = x^3-3x+3.$ Titik stasioner dicari saat $g'x = 0.$ $$\begin{aligned} g'x & = 0 \\ 3x^2-3 & = 0 \\ 3x^2-1 & = 0 \\ 3x+1x-1 & = 0 \\ x = -1~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Untuk $x = -1$, diperoleh $$\begin{aligned} f-1 & = -1^3-3-1+3 \\ & = -1+3+3 = 5 \end{aligned}$$sehingga titik stasionernya adalah $-1, 5.$ Untuk $x = 1$, diperoleh $\begin{aligned} f1 & = 1^3-31+3 \\ & = 1-3+3 = 1 \end{aligned}$ sehingga titik stasionernya adalah $1, 1.$ Jadi, fungsi $g$ memiliki dua titik stasioner, yaitu $\boxed{-1, 5~\text{dan}~1,1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 4 Fungsi $px = 2x^3-9x^2+12x$ mempunyai titik stasioner $\cdots \cdot$ A. $1, 5$ dan $4, 2$ B. $1, 5$ dan $2, 4$ C. $-5, 1$ dan $2, 4$ D. $5, 1$ dan $2, 4$ E. $5, 1$ dan $4, 2$ Pembahasan Diketahui $px = 2x^3-9x^2+12x$. Titik stasioner dicari saat $p'x = 0.$ $$\begin{aligned} p'x & = 0 \\ 6x^2-18x + 12 & = 0 \\ 6x^2-3x+2 & = 0 \\ 6x-2x-1 & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Untuk $x = 1$, diperoleh $\begin{aligned} p1 & = 21^3-91^2+121 \\ & = 2-9+12 = 5 \end{aligned}$ sehingga titik stasionernya adalah $1, 5.$ Untuk $x = 2$, diperoleh $\begin{aligned} p2 & = 22^3-92^2+122 \\ & = 16-36+24=4 \end{aligned}$ sehingga titik stasionernya adalah $2,4.$ Jadi, fungsi $p$ memiliki dua titik stasioner, yaitu $\boxed{1, 5~\text{dan}~2, 4}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar Soal Nomor 5 Fungsi $ft = -2t^2+t+3$ mempunyai $\cdots \cdot$ A. nilai balik maksimum, $y = 0,\!25$ B. nilai balik minimum, $y = -\dfrac14$ C. nilai balik maksimum, $y = 3,\!125$ D. nilai balik minimum, $y = -3,\!125$ E. nilai balik maksimum, $y = 0,\!5$ Pembahasan Diketahui $ft = -2t^2+t+3$. Titik stasioner dicari saat $f't = 0.$ $$\begin{aligned} f't & = 0 \\ -4t + 1 & = 0 \\ t & = \dfrac14 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua $ft$ adalah $f^{\prime \prime}t = -4$ sehingga untuk $t = \dfrac14$, diperoleh $f^{\prime \prime}\left\dfrac14\right = -4 0 \end{aligned}$$Karena nilainya positif, maka itu berarti $-3, 0$ adalah titik balik minimum. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 7 Fungsi $y = t^2-5t+6$ mempunyai nilai ekstrem $\cdots \cdot$ A. maksimum di $y = -\dfrac14$ B. minimum di $y = -\dfrac14$ C. maksimum di $y = 2$ D. minimum di $y = 2$ E. minimum di $y = 6$ Pembahasan Diketahui $y = t^2-5t+6.$ Titik stasioner dicari saat $y’ = 0.$ $$\begin{aligned} 2t-5 & = 0 \\ 2t & = 5 \\ t & = \dfrac52 \end{aligned}$$Substitusi $t = \dfrac52$ pada $y$, kita peroleh $$\begin{aligned} y & = \left\dfrac52\right^2-5\left\dfrac52\right+6 \\ & = \dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}+6 \\ & = \dfrac{25-50+24}{4} = -\dfrac14 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua $y$ adalah $y^{\prime \prime}t = 2$ sehingga untuk $t = \dfrac52,$ diperoleh $f^{\prime \prime}\left\dfrac52\right = 2 > 0.$ Ini artinya fungsi tersebut memiliki nilai ekstrem minimum di $y = -\dfrac14.$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 8 Titik balik maksimum dari kurva $fx = \dfrac14x^4-2x^2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-2, -4$ D. $2, -4$ B. $-2, 4$ E. $2, 4$ C. $0, 0$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac14x^4-2x^2.$ Titik stasioner dicari saat $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} x^3-4x & = 0 \\ xx^2-4 & = 0 \\ xx+2x-2 & = 0 \\ x = 0~\text{atau}~x & = -2~\text{atau}~x = 2 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}x = 3x^2-4.$ Substitusi $x = 0$ menghasilkan $f^{\prime \prime}0 = 30^2-4 = -4 0.$ Substitusi $x = 2$ menghasilkan $f^{\prime \prime}2 = 32^2-4 = 8 > 0.$ Karena $f^{\prime \prime}0$ bernilai negatif, maka itu berarti titik $x = 0$ merupakan absis titik balik maksimum Substitusi $x = 0$ pada $fx,$ kita peroleh $$\begin{aligned} fx & = \dfrac14x^4-2x^2 \\ \Rightarrow f0 & = \dfrac140^4-20^2 = 0 \end{aligned}$$Jadi, titik balik maksimum fungsi $f$ adalah $\boxed{0,0}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 9 Fungsi $fx = 4x^3-18x^2+15x-20$ akan mencapai maksimum saat nilai $x = \cdots \cdot$ A. $3,\!0$ D. $1,\!5$ B. $2,\!5$ E. $0,\!5$ C. $2,\!0$ Pembahasan Diketahui $fx = 4x^3-18x^2+15x-20.$ Akan dicari nilai $x$ saat $f$ stasioner. $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ 12x^2-36x+15 & = 0 \\ 34x^2-12x+5 & = 0 \\ 32x-12x-5 & = 0 \\ x = \dfrac12~\text{atau}~x & = \dfrac52 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}x = 24x-36.$ Sekarang, uji nilai turunan kedua $f$ untuk $x = \dfrac12$ dan $x = \dfrac52.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}\left\dfrac12\right & = 24\left\dfrac12\right-36 = -24 0 \end{aligned}$$Karena $f^{\prime \prime}\left\dfrac12\right$ bernilai negatif, maka itu berarti nilai fungsi $f$ mencapai maksimum saat nilai $\boxed{x=\dfrac12=0,\!5}$ Jawaban E [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Menggunakan Limit Soal Nomor 10 Nilai maksimum dari fungsi $ft = t + \sqrt{a-2t}$ adalah $10$. Nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$ A. $23$ C. $17$ E. $12$ B. $19$ D. $14$ Pembahasan Diketahui $ft = t + \sqrt{a-2t}.$ Turunan pertama fungsi $f$ dinyatakan oleh $$\begin{aligned} f't & = 1+\dfrac12 \cdot a-2t^{-1/2} \cdot -2 \\ & = 1-\dfrac{1}{\sqrt{a-2t}} \end{aligned}$$Fungsi $f$ maksimum ketika $f't = 0$ sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 1-\dfrac{1}{\sqrt{a-2t}} & = 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{a-2t}} & = 1 \\ \sqrt{a-2t} & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat $f_{\text{maks}}t = t + 1 = 10$, berarti $t = 9.$ Karena itu, $$\begin{aligned} \sqrt{a-2\color{red}{9}} & = 1 \\ a-18 & = 1 \\ a & = 19 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a=19}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 11 Koordinat titik belok fungsi $fx = x^3-6x^2+12x+5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-2, -3$ D. $2, 10$ B. $-2, 7$ E. $2, 13$ C. $-2, 5$ Pembahasan Diketahui $fx = x^3-6x^2+12x+5.$ Turunan pertama dan keduanya berturut-turut adalah $$\begin{aligned} f'x & = 3x^2-12x+12 \\ f^{\prime \prime}x & = 6x-12 \end{aligned}$$Titik belok grafik fungsi dicari ketika $f^{\prime \prime}x = 0$, yaitu $6x-12 = 0$ sehingga diperoleh $x = 2.$ Substitusi $x = 2$ pada $fx$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} f2 & = 2^3-62^2+122+5 \\ & = 8-24+24+5 = 13 \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik beloknya adalah $\boxed{2, 13}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 12 Koordinat titik belok dari fungsi $fx = \dfrac14x^4-2x^2$ adalah $\cdots \cdot$ $-2, -4$ dan $2, 4$ $2, 4$ dan $-2, 4$ $-2, -4$ dan $2, -4$ $\left-\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right$ dan $\left\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right$ $\left\dfrac13\sqrt3, 4\right$ dan $\left-\dfrac12\sqrt3, -4\right$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac14x^4-2x^2$. Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = x^3-4x \\ f^{\prime \prime}x & = 3x^2-4 \end{aligned}$$Titik belok kurva fungsi $f$ dicapai saat $f^{\prime \prime}x = 0.$ Kita peroleh $$\begin{aligned} 3x^2-4 & = 0 \\ x^2 & = \dfrac43 \\ x & = \pm \sqrt{\dfrac43} \\ x & = \pm \dfrac{2}{\sqrt3} = \pm \dfrac23\sqrt3 \end{aligned}$$Selanjutnya, substitusikan dua nilai $x$ tersebut pada $fx.$ $$\begin{aligned} fx & = \dfrac14x^4-2x^2 \\ \Rightarrow f\left\dfrac23\sqrt3\right & = \dfrac14 \cdot \left\dfrac43\right^2-2 \cdot \dfrac43 \\ & = \dfrac49-\dfrac83 = -\dfrac{20}{9} \\ f\left-\dfrac23\sqrt3\right & = \dfrac14 \cdot \left\dfrac43\right^2-2 \cdot \dfrac43 \\ & = \dfrac49-\dfrac83 = -\dfrac{20}{9} \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik belok fungsi $f$ adalah $\boxed{\left-\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right}$ dan $\boxed{\left\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Nilai minimum fungsi $fx = x^3 + 3x^2-9x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $27$ D. $-5$ B. $5$ E. $-27$ C. $0$ Pembahasan Diketahui $fx = x^3+3x^2-9x.$ Akan dicari nilai $x$ sehingga $f$ stasioner. $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ 3x^2+6x-9 & = 0 \\ 3x^2+2x-3 & = 0 \\ 3x+3x-1 & = 0 \\ x = -3~\text{atau}~x&=1 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}x = 6x + 6.$ Substitusi $x = -3$ menghasilkan $f^{\prime \prime}-3 = 6-3 + 6 = -12 0.$ Ini berarti, fungsi $f$ minimum ketika $x = 1$, yaitu $\boxed{f1 = 1^3+31^2-9 = -5}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 14 Selisih nilai maksimum dan minimum dari fungsi $fx = \dfrac13x^3+\dfrac12x^2-2x+5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac12$ C. $\dfrac52$ E. $\dfrac92$ B. $\dfrac32$ D. $\dfrac72$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac13x^3+\dfrac12x^2-2x+5.$ Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = x^2+x-2 \\ f^{\prime \prime}x & = 2x+1 \end{aligned}$$Absis titik stasioner dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} x^2+x-2 & = 0 \\ x+2x-1 & = 0 \\ x = -2~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Selanjutnya, uji dua nilai $x$ tersebut pada $f^{\prime \prime}x = 2x+1$. $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}-2 & = 2-2 + 1 = -3 0 \end{aligned}$$Dapat disimpulkan bahwa fungsi $f$ mencapai nilai maksimum di $x = -2$ dan mencapai nilai minimum di $x = 1.$ $$\begin{aligned} f-2 & = \dfrac13-2^3+\dfrac12-2^2-2-2 + 5 \\ & = -\dfrac83 + 2+4+5 = \dfrac{25}{3} && \text{maksimum} \\ f1 & = \dfrac121^3 + \dfrac131^2-21 + 5 \\ & = \dfrac13 + \dfrac12-2+5 = \dfrac{23}{6} && \text{minimum} \end{aligned}$$Dengan demikian, selisih nilai maksimum dan minimum fungsi $f$ adalah $$\boxed{\dfrac{25}{3}-\dfrac{23}{6} = \dfrac{27}{6} = \dfrac92}$$Jawaban E [collapse] Soal Nomor 15 Nilai maksimum dari fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9$ pada interval $0 \leq x \leq 3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $9$ C. $\dfrac92$ E. $\dfrac32$ B. $4$ D. $\dfrac{23}{6}$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9.$ Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = x^2-3x \\ f^{\prime \prime}x & = 2x-3 \end{aligned}$$Absis titik stasioner dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} x^2-3x & = 0 \\ xx-3 & = 0 \\ x = 0~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Uji kedua nilai $x$ tersebut pada $f^{\prime \prime}x = 2x-3.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}0 & = 20-3= -3 0 \end{aligned}$$Ini berarti, nilai maksimum lokal fungsi $f$ tercapai saat $x = 0$ karena $f^{\prime \prime}0$ bernilai negatif. Substitusi $x = 0$ pada $fx$, diperoleh $f0 = \dfrac130^3-\dfrac320^2+9=9.$ Jadi, nilai maksimum dari fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9$ pada interval $0 \leq x \leq 3$ adalah $\boxed{9}$ Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan Soal Nomor 16 Nilai maksimum fungsi $$fx = 4x^3 + px^2 + 15x-20$$ dicapai oleh $x = \dfrac12$, maka nilai minimum $fx$ dicapai pada $x = \cdots \cdot$ A. $1$ C. $2$ E. $3$ B. $\dfrac35$ D. $\dfrac52$ Pembahasan Diketahui $fx = 4x^3 + px^2 + 15x-20.$ Turunan pertama fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$f'x = 12x^2+2px + 15$$Karena diketahui bahwa $x = \dfrac12$ membuat nilai fungsi $f$ maksimum, maka substitusi $x = \dfrac12$ harus membuat $f’\left\dfrac12\right = 0$. $$\begin{aligned} 12\left\dfrac12\right^2 + 2p \cdot \left\dfrac12\right + 15 & = 0 \\ 3 + p + 15 & = 0 \\ p & = -18 \end{aligned}$$Sekarang, $fx = 4x^3-18x^2+15x-20.$ Turunan pertama dan keduanya adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = 12x^2-36x +15 \\ f^{\prime \prime}x & = 24x-36 \end{aligned}$$Akan dicari nilai $x$ sehingga $f$ stasioner, yaitu ketika $f'x = 0$. $$\begin{aligned} 12x^2-36x+15 & = 0 \\ 34x^2-12x+5 & = 0 \\ 32x-12x-5 & = 0 \\ x = \dfrac12~\text{atau}~x & = \dfrac52 \end{aligned}$$Nilai $x = \dfrac12$ diketahui membuat nilai $f$ maksimum. Sekarang, akan dicek untuk $x = \dfrac52$ dengan cara substitusi pada $f^{\prime \prime}x = 24x-36.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}\left\dfrac52\right & = 24\left\dfrac52\right-36 = 24 > 0 \end{aligned}$$Karena nilainya positif, maka $x = \dfrac52$ membuat nilai $f$ minimum. Jawaban D [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Turunan Fungsi Implisit Soal Nomor 17 Jika $gx = \displaystyle \int_0^x ft~\text{d}t$ untuk $0 \leq x \leq 7,$ maka $\cdots \cdot$ $gx$ mencapai nilai minimum di $x=1$ $gx$ mencapai nilai minimum di $x=7$ $gx$ mencapai nilai maksimum di $x=2$ $gx$ mencapai nilai maksimum di $x=4$ $gx$ mencapai nilai maksimum di $x=6$ Pembahasan Perhatikan bahwa $gx = \displaystyle \int_0^x ft~\text{d}t$ mengimplikasikan $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} gx & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left\displaystyle \int_0^x ft~\text{d}t\right \\ g'x & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} Fx-F0 \\ g'x & = fx-0 \\ g'x & = fx \end{aligned}$$Grafik pada soal menunjukkan kurva turunan fungsi $g.$ Tampak bahwa grafik memotong sumbu-$X$ pada $x = 0$, $x = 2,$ dan $x = 6$ sehingga titik ekstrem fungsi $g$ di ketiga titik tersebut. Grafik juga turun pada interval $0 0.$ Artinya, nilai $f$ minimum tercapai saat $x = 3.$ Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{3}$ [collapse] Soal Nomor 2 Fungsi kuadrat $fx = ax^2+bx+4$ mempunyai koordinat titik balik maksimum di $1, -1$. Hitunglah nilai $ab.$ Pembahasan Diketahui $fx = ax^2+bx+4.$ Karena grafik melalui titik $1, -1$, maka substitusikan $x=1$ dan $y=-1$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} a1^2+b1+4 & = -1 \\ a+b & = -5 && \cdots 1 \end{aligned}$$Nilai $x = 1$ diketahui membuat $f$ stasioner, dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} f'x & = 2ax +b \\ 0 & = 2a1+b \\ b & = -2a && \cdots 2 \end{aligned}$$Dari Persamaan $1$ dan $2$, diperoleh $a = 5$ dan $b = -10$ sehingga nilai $\boxed{ab = 5-10 = -50}$ [collapse] Soal Nomor 3 Tentukan nilai $a$ dan $b$ sedemikian sehingga $fx = a\sqrt{x} + \dfrac{b}{\sqrt{x}}$ mempunyai titik balik $4, 13.$ Pembahasan Diketahui $fx = a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}}.$ Karena $4, 13$ dilalui oleh grafik fungsi tersebut, maka substitusikan $x = 4$ dan $y = 13$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} 13 & = a\sqrt{4} + \dfrac{b}{\sqrt4} \\ 13 & = 2a + \dfrac{b}{2} \\ \text{Kalikan}~&\text{kedua ruas dengan}~2 \\ 26 & = 4a + b && \cdots 1 \end{aligned}$$Nilai $x = 4$ diketahui membuat $f$ stasioner, dicari ketika $f'x = 0$. $$\begin{aligned} fx & = ax^{\frac12} + bx^{-1/2} \\ \Rightarrow f'x & = \dfrac12ax^{-\frac12}-\dfrac12bx^{-\frac32} \\ f'x & = \dfrac{a}{2\sqrt{x}}-\dfrac{b}{2x\sqrt{x}} \\ 0 & = \dfrac{a}{2\sqrt4}-\dfrac{b}{24\sqrt4} \\ 0 & = \dfrac{a}{4}-\dfrac{b}{16} \\ \text{Kalikan}~&\text{kedua ruas dengan}~16 \\ 0 & = 4a-b && \cdots 2 \end{aligned}$$Dari Persamaan $1$ dan $2$, diperoleh $a=\dfrac{13}{3}$ dan $b=13.$ [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan Diferensial Soal Nomor 4 Carilah jika mungkin nilai-nilai maksimum dan minimum dari fungsi $fx = x^2 + x^{-2}.$ Pembahasan Diketahui $fx=x^2+x^{-2}.$ Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = 2x-2x^{-3} \\ f^{\prime \prime}x & = 2+6x^{-4} \end{aligned}$$Nilai $x$ yang membuat $f$ stasioner dapat dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} 2x-2x^{-3} & = 0 \\ \text{Kalikan kedua}&~\text{ruas dengan}~x^3 \\ 2x^4-2 & = 0 \\ x^4 & = 1 \\ x & = \pm 1 \end{aligned}$$Substitusi dua nilai $x$ ini pada $f^{\prime \prime}x = 2+6x^{-4}.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}-1 & = 2+6-1^{-4} = 2+6 = 8 > 0 \\ f^{\prime \prime}1 & = 2+61^{-4} = 2+6 = 8>0 \end{aligned}$$Karena keduanya bernilai positif, maka $x = -1$ dan $x = 1$ membuat $f$ mencapai minimum. Nilai minimumnya dapat dicari dengan melakukan substitusi kedua nilai tersebut pada $fx = x^2+x^{-2}$. $$\begin{aligned} f-1 & = -1^2+-1^{-2} = 1+1 = 2 \\ f1 & = 1^2 + 1^{-2} = 1+1= 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai minimum fungsi $f$ adalah $\boxed{2}$, sedangkan nilai maksimumnya tidak ada. Grafik fungsi $f$ dapat dilihat pada gambar di bawah. [collapse] Soal Nomor 5 Buktikan bahwa setiap fungsi kuadrat $fx = ax^2 + bx + c$, dengan $a \neq 0$, mempunyai tepat satu titik kritis. Pembahasan Diketahui $fx = ax^2+bx+c.$ Turunan pertama fungsi kuadrat tersebut adalah $f'x = 2ax + b.$ $f$ stasioner ketika $f'x = 0$ sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 2ax + b & = 0 \\ 2ax & = -b \\ x & = -\dfrac{b}{2a} \end{aligned}$$Substitusikan $x = -\dfrac{b}{2a}$ pada $fx,$ diperoleh $$\begin{aligned} f\left-\dfrac{b}{2a}\right & = a\left-\dfrac{b}{2a}\right^2 + b \cdot \left-\dfrac{b}{2a}\right + c \\ & = \dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{b^2}{2a} + c \\ & = \dfrac{b^2-2b^2+4ac}{4a} \\ & = \dfrac{-b^2+4ac}{4a} \\ & = -\dfrac{b^2-4ac}{4a} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa setiap fungsi kuadrat mempunyai tepat satu titik kritis, yaitu $\boxed{\left-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right}$ [collapse]
Untukmencari nilai maksimum dan minimum kita substitusikan titik-titik ekstrim ke fungsi \(f(x)\), yang paling besar itulah nilai maksimum sedangkan yang paling kecil itulah nilai minimum. \(f(x) = -2x^{3} + 3x^{2}\) \(f(- \frac{1}{2}) = -2(- \frac{1}{2})^{3} + 3(- \frac{1}{2})^{2} = 1\) \(f(0) = -2(0)^{3} + 3(0)^{2} =0\)
PembahasanSuatu titik pada fungsi disebut titik balik minimumjika . Diketahui fungsi . Turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. Syarat mempunyai titik stasioner adalah , maka Untuk , maka Untuk , maka Perhatikan bahwa untuk diperoleh sehingga merupakan nilai balik minimum dari fungsi . Dengan demikian, koordinat titik balik minimum grafik fungsi adalah .Suatu titik pada fungsi disebut titik balik minimum jika . Diketahui fungsi . Turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. Syarat mempunyai titik stasioner adalah , maka Untuk , maka Untuk , maka Perhatikan bahwa untuk diperoleh sehingga merupakan nilai balik minimum dari fungsi . Dengan demikian, koordinat titik balik minimum grafik fungsi adalah .
Gambardi atas menunjukkan titik balik maksimum dan minimum suatu fungsi. Pada intinya maksimum terjadi jika terjadi perubahan nilai turunan pertama dari postif menjadi negatif. Sementara itu minimum adalah sebaliknya. Baca juga materi Fungsi Naik dan Turun Fungsi Aljabar. 2. Titik Belok Naik dan Turun
- Titik stasioner Diketahui Selanjutnya menentukan titik stasioner, dengan syarat yaitu dan didapatkan Untuk didapatkan Untuk didapatkan Sehingga, titik stasioner fungsi adalah . - Titik balik maksimum dan titik balik minimum Untuk titik balik maksimum adalah . Untuk titik balik minimum adalah . - Interval fungsi naik dan interval fungsi turun Akan ditentukan interval grafik fungsi naik dan fungsi turun. Dalam menentukan interval ini kita digunakan titik-titik stasioner dalam menentukan intervalnya. Langkah pertama akan dibuat garis bilangan. Ambil nilai Maka, garis bilangannya adalah sebagai berikut Untuk interval fungsi naik didapatkan adalah . Untuk interval fungsi turun didapatkan adalah . Dengan demikian, titik stasioner, titik balik maksimum dan minimum, nilai maksimum dan minimum, serta interval fungsi naik dan fungsi turun pada fungsi adalah , titik balik maksimum adalah , titik balik minimum adalah , interval fungsi naik adalah dan interval fungsi turun adalah .
Kitaakan uji titik stasioner ke turunan kedua yaitu jika f ''(x) > 0 maka titik (x,f(x)) adalah titik balik minimum fungsi. f ''(x) = 2. f ''(x) > 0. Karena f ''(x) > 0, maka titik (1, -1) adalah titik balik minimum. Sehingga nilai minimum fungsi adalah f(1) = -1
Kalkulus Contoh Tentukan Maksimum dan Minimum Lokal fx=x^3-3x^2+3 Langkah 1Tentukan turunan pertama dari untuk lebih banyak langkah...Langkah untuk lebih banyak langkah...Langkah Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap Variabel1 adalah .Langkah menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .Langkah untuk lebih banyak langkah...Langkah konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .Langkah menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .Langkah menggunakan Aturan untuk lebih banyak langkah...Langkah konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .Langkah 2Tentukan turunan kedua dari untuk lebih banyak langkah...Langkah Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap Variabel1 adalah .Langkah untuk lebih banyak langkah...Langkah konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .Langkah menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .Langkah untuk lebih banyak langkah...Langkah konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .Langkah menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .Langkah 3Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu 4Tentukan turunan untuk lebih banyak langkah...Langkah turunan untuk lebih banyak langkah...Langkah untuk lebih banyak langkah...Langkah Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap Variabel1 adalah .Langkah menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .Langkah untuk lebih banyak langkah...Langkah konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .Langkah menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .Langkah menggunakan Aturan untuk lebih banyak langkah...Langkah konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .Langkah pertama dari terhadap adalah .Langkah 5Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .Ketuk untuk lebih banyak langkah...Langkah turunan pertamanya agar sama dengan .Langkah untuk lebih banyak langkah...Langkah faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan .Langkah agar sama dengan dan selesaikan .Ketuk untuk lebih banyak langkah...Langkah ke kedua sisi akhirnya adalah semua nilai yang membuat 6Tentukan nilai saat turunannya tidak untuk lebih banyak langkah...Langkah dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak 7Titik kritis untuk 8Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum 9Evaluasi turunan untuk lebih banyak langkah...Langkah 10 adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua. adalah maksimum lokalLangkah 11Tentukan nilai y ketika .Ketuk untuk lebih banyak langkah...Langkah variabel dengan pada pernyataan untuk lebih banyak langkah...Langkah setiap untuk lebih banyak langkah...Langkah ke sebarang pangkat positif menghasilkan .Langkah ke sebarang pangkat positif menghasilkan .Langkah dengan menambahkan untuk lebih banyak langkah...Langkah akhirnya adalah .Langkah 12Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum 13Evaluasi turunan untuk lebih banyak langkah...Langkah 14 adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua. adalah minimum lokalLangkah 15Tentukan nilai y ketika .Ketuk untuk lebih banyak langkah...Langkah variabel dengan pada pernyataan untuk lebih banyak langkah...Langkah setiap untuk lebih banyak langkah...Langkah menjadi pangkat .Langkah menjadi pangkat .Langkah dengan menambahkan dan untuk lebih banyak langkah...Langkah akhirnya adalah .Langkah 16Ini adalah ekstrem lokal untuk . adalah maksimum lokal adalah minimum lokal
- Դоսօգаռխрс ኝозвуሧеኄυ пазаշ
- Πоդυβизо ох таվаψуድаρխ
- Οпсዕչ дапоվоδυս саласкሰф
- Ծօλатвጶቄеፕ э
- ኅպեሄиφፎγек ихቶбр
- Жቦνепоцеշ иጥነз стоշխчፂфሳፔ ፍուхаኦըтε
- Пεπը ኻ
- Аጭуце вр υ αδ
- Λирсևւθни ሊаቨεхеጪ
Langkah4: menentukan ordinat titik balik maksimum Ordinat titik balik minimum ditentukan dengan cara memasukkan nilai xmax ke dalam fungsi semula (f), bukan ke dalam fungsi cerminan (f1). >> ymax=f(xmax) ymax = 5.3333 Berdasarkan hasil pada langkah 3 dan 4, maka diperoleh titik balik maksimum fungsi ( ) 3 2 2 3 4 3 f x 1 x x x
NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI ALJABARSalah satu penggunaan turunan fungsi adalah untuk menentukan nilai minimun dan maksimum fungsi. Untuk membahas topik ini. perhatikan gambar gambar diatas, perhatikan sifat berikutMisalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan pertama dan kedua pada , sehinggaJika , maka titik disebut titik stasioner/titik kritis/titik balik Jika dan , maka titik disebut titik balik minimum fungsiJika dan , maka titik disebut titik balik maksimum fungsiJika , maka titik disebut titik belok fungsiContoh Soal dan PembahasanContoh soal 1Jika adalah turunan pertama fungsi fx dan adalah turunan keduanya, maka tentukan turunan kedua fungsi-fungsi berikut1. fx = 3x - 2Jawabf 'x = 3xf ''x = 32. Jawab 3. Jawab 4. Jawab 5. Jawab Contoh Soal 2Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum jika ada fungsi-fungsi berikut1. JawabLangkah 1. Menentukan pembuat nol fungsiFungsi fx memotong sumbu x jika fx = 0xx - 2 = 0x = 0 atau x - 2 = 0 x = 2Jadi kurva memotong sumbu x di titik 0,0 dan 2,0Langkah 2. Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turunFungsi naik jika f 'x > 02x - 2 > 02x > 2x > 1Fungsi turun jika f 'x 1 dengan x bilangan real}Interval fungsi turun adalah {x x 0 maka titik x,fx adalah titik balik minimum fungsif ''x = 2f ''x > 0Karena f ''x > 0, maka titik 1, -1 adalah titik balik minimumSehingga nilai minimum fungsi adalah f1 = -1Fungsi tidak memiliki nilai grafik fungsi digambarkan sebagai berikut2. JawabLangkah 1 Menentukan pembuat nol fugsiAkan dicek nilai diskriminannya apakah grafik memotong sumbu x atau tidak Karena D 0Jadi fungsi naik pada interval {x , x bilangan ril}Fungsi turun jika f 'x 0Perhatikan garis bilangan berikutJadi fungsi naik pada interval atau Fungsi turun jika f 'x < 0 Perhatikan garis bilangan berikutJadi grafik turun pada interval Langkah 3 Menentukan titik stasionerTitik stasioner atau titik balik diperoleh jika f 'x = 0 Substitusi ke persamaan = - 0,38Koordinat titik balik pertama adalah atau 0,58 ; -0,38 = 0,38 Koordinat titik balik kedua adalah atau -0,58 ;0,38Langkah 4. Uji jenis titik stasionerAka dilakukan uji selang yaituJika dilihat uji selang tersebut, maka fungsi tidak memiliki nilai maksimum ataupun nilai minimum. Tetapi jika dibatasi Daerah asalnya yaitu -1 < x < 1 maka Nilai maksimum = Nilai Minimum = Jika grafik fungsi sebagai berikut4. Sebuah bola dilambungkan ke atas. Jika lintasan bola berbentuk parabola dengan persamaan lintasan dan dengan mengabaikan percepatan gravitasi bumu dan kecepatan awal bola, hitunglah tinggi maksimal dari bola 1 . Menentukan titik stasioser lintasan bola yaitu jika h't = 0h't = 0-2t + 1 = 0-2t = -1subtitusi ke persamaan lintasan bola Langkah 2 Uji Nilai stasioner yaitu lintasan bola memiliki nilai maksimal jika h''t < 0h''t = -2karena h''t < 0 maka merupakan nilai maksimal lintasan tinggi maksimal bola adalah satuan pembahasan aplikasi turunan untuk menentukan nilai maksimum dan minimum funhsi aljabar. Semoga pembahasan ini bermanfaat.
Contohsoal program linear dan pembahasan contoh soal 1: 2) f ( x) mempunyai nilai balik minimum f ( c) dan titik ekstrem ( c, f ( c)). Nilai minimum fungsi obyektif f (x, y) = 3x + 2y dari daerah yang. Kemudian 1 stel rok memerlukan 2 meter kain wol dan 2 meter kain sutra. Suatu fungsi kuadrat bisa ditentukan apakah memiliki nilai minimum atau
Sukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, mari! 12 SMA Prospek Terbiasa Kekongruenan dan Kesebangunan Statistika Inferensia Dimensi Tiga Statistika Wajib Limit Faedah Trigonometri Hamba allah Faedah Trigonometri 11 SMA Barisan Limit Fungsi Turunan Koheren Persamaan Galengan dan Rajangan Dua Lingkaran Integral Tentu Terkonsolidasi Parsial Induksi Matematika Programa Linear Matriks Alterasi Fungsi Trigonometri Persamaan Trigonometri Irisan Kerucut Polinomial 10 SMA Fungsi Trigonometri Skalar dan vektor serta operasi aljabar vektor Akal sehat Ilmu hitung Paralelisme Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Wajib Pertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu Elastis Sistem Persamaan Linear Tiga Plastis Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel Sistem Paralelisme Linier Dua Variabel Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Elastis Grafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma 9 SMP Transfigurasi Geometri Kesebangunan dan Kongruensi Bangun Ruang Sisi Lekuk Bilangan Berlenggek Dan Bentuk Akar Kemiripan Kuadrat Fungsi Kuadrat 8 SMP Teorema Phytagoras Lingkaran Garis Sentuh Dok Bangun Ruang Sisi Datar Peluang Paradigma Bilangan Dan Barisan Bilangan Koordinat Cartesius Relasi Dan Fungsi Kemiripan Garis Lurus Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv 7 SMP Nisbah Aritmetika Sosial Aplikasi Aljabar Sudut dan Garis Setimpal Segi Catur Segitiga Statistika Bilangan Buntar Dan Pecahan Himpunan Gerakan Dan Faktorisasi Bagan Aljabar Persamaan Dan Pertidaksamaan Linear Suatu Variabel 6 SD Bangun Ruang Statistika 6 Sistem Koordinat Bilangan Bulat Lingkaran 5 SD Siuman Urat kayu Pengumpulan dan Presentasi Data Operasi Predestinasi Rekahan Kepantasan Dan Volume Perbandingan Perpangkatan Dan Akar tunjang 4 SD Aproksimasi / Pembulatan Bangun Menjemukan Statistika Pengukuran Sudut Predestinasi Romawi Pecahan KPK Dan FPB 12 SMA Teori Relativitas Khas Konsep dan Fenomena Kuantum Teknologi Digital Nukleus Perigi-Sumber Energi Gabungan Arus Searah Listrik Statis Elektrostatika Medan Besi sembrani Induksi Elektromagnetik Rangkaian Arus Bolak Balik Radiasi Elektromagnetik 11 SMA Hukum Termodinamika Ciri-Ciri Gelombang Mekanik Gelombang Bepergian dan Gelombang listrik Stasioner Gelombang Bunyi Gelombang elektronik Terang Alat-Alat Optik Gejala Pemanasan Global Alternatif Solusi Keadilan Dan Dinamika Rotasi Elastisitas Dan Syariat Hooke Zalir Statik Fluida Dinamik Suhu, Panas api Dan Hijrah Hangat api Teori Kinetik Gas 10 SMA Syariat Newton Hukum Newton Tentang Gravitasi Usaha Kerja Dan Energi Pejaka dan Impuls Getaran Harmonis Hakikat Fisika Dan Prosedur Ilmiah Pengukuran Vektor Gerak Lurus Gerak Parabola Gerak Melingkar 9 SMP Kelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk Teknologi Dagangan Teknologi Aturan Bahan Kelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan 8 SMP Tekanan Cahaya Renyut dan Gelombang listrik Gerak Dan Gaya Pesawat Tersisa 7 SMP Penyelenggaraan Syamsu Objek Ilmu Mualamat Alam Dan Pengamatannya Zat Dan Karakteristiknya Suhu Dan Kalor Energi Fisika Ilmu permukaan bumi 12 SMA Struktur, Tata Label, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan Senyawa Benzena dan Turunannya Struktur, Penyelenggaraan Nama, Resan, Penggunaan, dan Pengelompokan Makromolekul Sifat Koligatif Larutan Reaksi Redoks Dan Bui Elektrokimia Kimia Unsur 11 SMA Bersut dan Basa Kesetimbangan Ion dan pH Larutan Garam Larutan Penyangga Titrasi Kesetimbangan Larutan Ksp Sistem Koloid Ilmu pisah Terapan Senyawa Hidrokarbon Patra Bumi Termokimia Laju Reaksi Kesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan 10 SMA Larutan Elektrolit dan Larutan Non-Elektrolit Reaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata nama Senyawa Syariat-Hukum Dasar Kimia dan Stoikiometri Metode Ilmiah, Hakikat Aji-aji Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam Kehidupan Struktur Atom Dan Tabel Periodik Ikatan Kimia, Rencana Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul Source
OGNUu9r. vfdq71mwcx.pages.dev/256vfdq71mwcx.pages.dev/76vfdq71mwcx.pages.dev/199vfdq71mwcx.pages.dev/21vfdq71mwcx.pages.dev/319vfdq71mwcx.pages.dev/488vfdq71mwcx.pages.dev/477vfdq71mwcx.pages.dev/176
cara menentukan titik balik maksimum dan minimum
